Question

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1；（3）求证：直线PB1⊥平面PAC．

Answer 1

（1）设AC和BD交于点O，连PO，
由P，O分别是DD₁，BD的中点，故PO∥BD₁，
所以直线BD₁∥平面PAC．
（2）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，
底面ABCD是正方形，则AC⊥BD
又DD₁⊥面ABCD，则DD₁⊥AC，
所以AC⊥面BDD₁，则平面PAC⊥平面BDD₁
（3）PC²=2，PB₁²=3，B₁C²=5，所以△PB₁C是直角三角形．PB₁⊥PC，
同理PB₁⊥PA，所以直线PB₁⊥平面PAC．（12分）