设a＞1，函数f（x）的图象与函数y=4-a|x-2|-2?ax-2的图象关于点A（1，2）对称．（1）求函数f（x）的解析
设a＞1，函数f（x）的图象与函数y=4-a|x-2|-2?ax-2的图象关于点A（1，2）对称．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=m有两个不同...
设a＞1，函数f（x）的图象与函数y=4-a|x-2|-2?ax-2的图象关于点A（1，2）对称．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；（3）设函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关．试求a的取值范围．
展开
展开全部
（1）设点P（x，y）是函数f（x）图象上任意一点，P关于点A对称的点为P'（x'，y'），则
＝1，
＝2，于是x'=2-x，y'=4-y，（2分）
因为P'（x'，y'）在函数g（x）的图象上，所以y'=4-a|x'-2|-2?ax'-2，（3分）
即4-y=4-a|-x|-2?a-x，y=a|x|+2?a-x，所以f（x）=a|x|+2?a-x（或f(x)＝a|x|+
）．（5分）
（2）令ax=t，因为a＞1，x＞0，所以t＞1，所以方程f（x）=m可化为t+
＝m，
即关于t的方程t2-mt+2=0有大于1的相异两实数解．（8分）
作h（t）=t2-mt+2，则
，（11分）
解得2
＜m＜3．所以m的取值范围是(2
， 3)．（12分）
（3）g（x）=a|x|+2ax，x∈[-2，+∞）．
当x≥0时，因为a＞1，所以ax≥1，g（x）=3ax∈[3，+∞），所以函数g（x）不存在最大值．（13分）
当-2≤x＜0时，g(x)＝2ax+
，令t=ax，则g(x)＝h(t)＝2t+
，t∈[
， 1)，
当
＞
| x+x′ |
| 2 |
| y+y′ |
| 2 |
因为P'（x'，y'）在函数g（x）的图象上，所以y'=4-a|x'-2|-2?ax'-2，（3分）
即4-y=4-a|-x|-2?a-x，y=a|x|+2?a-x，所以f（x）=a|x|+2?a-x（或f(x)＝a|x|+
| 2 |
| ax |
（2）令ax=t，因为a＞1，x＞0，所以t＞1，所以方程f（x）=m可化为t+
| 2 |
| t |
即关于t的方程t2-mt+2=0有大于1的相异两实数解．（8分）
作h（t）=t2-mt+2，则
|
解得2
| 2 |
| 2 |
（3）g（x）=a|x|+2ax，x∈[-2，+∞）．
当x≥0时，因为a＞1，所以ax≥1，g（x）=3ax∈[3，+∞），所以函数g（x）不存在最大值．（13分）
当-2≤x＜0时，g(x)＝2ax+
| 1 |
| ax |
| 1 |
| t |
| 1 |
| a2 |
当
| 1 |
| a2 |
|
