Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于F（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）求证：DF∥AB，DF=12AB．

Answer 1

证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠ACB，
又∠MAC=∠ABC+∠ACB=2∠ACB，
又AN平分∠MAC，
∴∠NAC=∠MAN=∠ACB，
∵∠MAN+∠CAN+∠BAD+∠CAD=180°，
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=

1

2

×180°=90°，
又CE⊥AN，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形；

（2）∵四边形ADCE为矩形，
对角线DE与AC相交于点F，
∴F是AC的中点，
∵D是BC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF=

1

2

AB．