Question

（2014?平顶山二模）如图，已知，在平面直角坐标系内，点B的坐标为（6，8），过点B分别向x轴和y轴作垂线

（2014?平顶山二模）如图，已知，在平面直角坐标系内，点B的坐标为（6，8），过点B分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为C、A，抛物线y=-49x2+bx+c经过A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．（3）①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；②当S最大时，在抛物线y=-49x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使得△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵点B的坐标为（6，8），过点B分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为C、A，
∴点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0），
∴将A、C两点坐标代入抛物线，得

c＝8 ? 4 9 ×36+6b+c＝0

，
解得：

b＝ 4 3 c＝8

，
∴抛物线的解析式为y=-

4

9

x²+

4

3

x+8；

（2）①∵OA=8，OC=6，
∴AC═10，
过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB=

QE

QC

=

AB

AC

=

3

5

，
∴

QE

10?m

=

3

5

，
∴QE=

3

5

（10-m），
∴S=

1

2

?CP?QE=

1

2

m×

3

5

（10-m）=-

3

10

m²+3m=-

3

10

（m-5）²+

15

2

，
∴当m=5时，有最大面积；

②在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
∵抛物线的解析式为y=-

4

9

x²+

4

3

x+8的对称轴为x=

3

2

，
D的坐标为（3，8），Q（3，4），
当∠FDQ=90°时，F₁（

3

2

，8），
当∠FQD=90°时，则F₂（

3

2

，4），
当∠DFQ=90°时，设F（

3

2

，n），
则FD²+FQ²=DQ²，
即

9

4

+（8-n）²+

9

4

+（n-4）²=16，
解得：n=6±

7

2

，
∴F₃（

3

2

，6+

7

2

），F₄（

3

2

，6-

7

2

），
满足条件的点F共有四个，坐标分别为
F₁（

3

2

，8），F₂（

3

2

，4），F₃（

3

2

，6+

7

2

），F₄（

3

2

，6-

7

2

）．