如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AECM⊥平面PDB．（2
如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AECM⊥平面PDB．（2）若E是PB的中点，且AE与平面PBD所成的...
如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AECM⊥平面PDB．（2）若E是PB的中点，且AE与平面PBD所成的角为45°时，求二面角B-AE-D大小的余弦值．
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解答：（1）证明：∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AC
又∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∴AC⊥面PBD，
又AC?面EAC，
∴面EAC⊥面PBD．
（2）解：由（1）知AO⊥面PBD，OE是AE在面PBD上的射影，
∴∠AEO是AE与面PBD所成的角，
∵AE与平面PBD所成的角为45°，∴∠AEO=45°．
设AB=2，则AO＝OE＝
，OP＝2
．
以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则B（2，2，0），A（2，0，0），
E（1，1，
），D（0，0，0），
∴
＝(0，2，0)，
＝(?1，1，
)，
＝(2，0，0)，
＝(1，1，
)，
设面BAE的法向量
＝(x，y，z)，
则
，
取x=
，得
＝(
，0，1)，
设面DAE的法向量
＝(a，b，c)，
则
又∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∴AC⊥面PBD，
又AC?面EAC，
∴面EAC⊥面PBD．
（2）解：由（1）知AO⊥面PBD，OE是AE在面PBD上的射影，
∴∠AEO是AE与面PBD所成的角，
∵AE与平面PBD所成的角为45°，∴∠AEO=45°．
设AB=2，则AO＝OE＝
| 2 |
| 2 |
以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则B（2，2，0），A（2，0，0），
E（1，1，
| 2 |
∴
| AB |
| AE |
| 2 |
| DA |
| DE |
| 2 |
设面BAE的法向量
| m |
则
|
取x=
| 2 |
| m |
| 2 |
设面DAE的法向量
| n |
则
|
