Question

已知函数f：R→R，且满足条件f(f(x)+f(y))=f(x)+y(∀x,y∈R)，则下面这个式子等于什么

Answer 1

首先，狭义函数f：R→R，说明它首先是一个x对应一个f(x)。
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先证明它存在反函数，
假若y1≠y2
那么
f(f(x)+f(y1))=f(x)+y1
f(f(x)+f(y2))=f(x)+y2
显然，当y1≠y2时，f(f(x)+f(y1))≠f(f(x)+f(y2))，
也就是说，这是一个单射。
于是它存在反函数f^(-1)(x)。
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于是，

f(f(0)+f(0))=f(0)+0
也就是说，
f(2f(0))=f(0)
2f(0)=f^(-1)(f(0))=0
于是f(0)=0
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于是
f(0+f(y))=0+y
也就是说，
f(f(y))=y
取反函数
f(y)=f^(-1)(y)
也就是说，这个函数恒等于它的反函数，
那么它只能为：
f(x)=x了。
代入你的求和公式里。
Σ1/[x(x+1)]
=Σ(1/x-1/(x+1))
=1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/2011-1/2012
=1/1-1/2012
=2011/2012

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