已知函数f(x)＝1+lnxx．（1）若函数f（x）区间(a，a+13)(a＞0)上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）当
已知函数f(x)＝1+lnxx．（1）若函数f（x）区间(a，a+13)(a＞0)上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）当x≥1时，不等式f(x)≥kx+1恒成立，求实...
已知函数f(x)＝1+lnxx．（1）若函数f（x）区间(a，a+13)(a＞0)上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）当x≥1时，不等式f(x)≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：[(n+1)!]2＞(n+1)en?2+2n+1（n∈N*，e为自然对数的底数，e=2.71828…）．
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1）解：函数f(x)＝
的定义域为（0，+∞），
f′（x）=(
+
)′＝?
+
＝?
．
由f′（x）=0，解得：x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，由f′（x）＜0，
∴f （x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
函数f （x）在x=1处取得唯一的极值
由题意得
，解得
＜a＜1，故所求实数a的取值范围为(
，1)．
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
恒成立化为：
≥
，
即k≤
在[1，+∞）恒成立，
令g(x)＝
(x≥1)，则g′(x)＝
令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′(x)＝1?
≥0，当且仅当x=1时取等号
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上单调递增，h （x）≥h（1）=1＞0
因此g′(x)＝
=
＞0，∴g （x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）max=g（1）=2，
因此，k≤2，即实数k的取值范围为（-∞，2]；
（3）证明：由（2）知，当x≥1时，不等式f(x)≥
| 1+lnx |
| x |
f′（x）=(
| 1 |
| x |
| lnx |
| x |
| 1 |
| x2 |
| ||
| x2 |
| lnx |
| x2 |
由f′（x）=0，解得：x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，由f′（x）＜0，
∴f （x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
函数f （x）在x=1处取得唯一的极值
由题意得
|
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
| k |
| x+1 |
| 1+lnx |
| x |
| k |
| x+1 |
即k≤
| (x+1)(1+lnx) |
| x |
令g(x)＝
| (x+1)(1+lnx) |
| x |
| x?lnx |
| x2 |
令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′(x)＝1?
| 1 |
| x |
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上单调递增，h （x）≥h（1）=1＞0
因此g′(x)＝
| x?lnx |
| x2 |
| h(x) |
| x2 |
因此，k≤2，即实数k的取值范围为（-∞，2]；
（3）证明：由（2）知，当x≥1时，不等式f(x)≥
