Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是 的中点，连接PA，PB，PC． （1）如

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是 的中点，连接PA，PB，PC． （1）如图①，若∠BPC＝60°，求证： ； （2）如图②，若 ，求 的值．

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Answer 1

（1）先根据圆周角定理可得∠BAC＝∠BPC＝60°，即可证得△ABC为等边三角形，则可得∠ACB＝60°，由点P是弧AB的中点，可得∠ACP＝30°，再结合∠APC＝∠ABC＝60°即可求得结果；（2）

试题分析：（1）先根据圆周角定理可得∠BAC＝∠BPC＝60°，即可证得△ABC为等边三角形，则可得∠ACB＝60°，由点P是弧AB的中点，可得∠ACP＝30°，再结合∠APC＝∠ABC＝60°即可求得结果； （2）连接AO并延长交PC于F，过点E作EG⊥AC于G，连接OC．由AB＝AC可得AF⊥BC，BF＝CF．由点P是弧AB中点可得∠ACP＝∠PCB，即可得到EG＝EF．由∠BPC＝∠FOC可得sin∠FOC＝sin∠BPC= ．设FC＝24a，根据勾股定理可得OC＝OA＝25a，则OF＝7a，AF＝32a．在Rt△AFC中，根据勾股定理可表示出AC的长，在Rt△AGE和Rt△AFC中，根据三角函数的定义求解即可． （1）∵弧BC＝弧BC ∴∠BAC＝∠BPC＝60°． 又∵AB＝AC， ∴△ABC为等边三角形 ∴∠ACB＝60°， ∵点P是弧AB的中点， ∴∠ACP＝30°， 又∠APC＝∠ABC＝60°， ∴AC＝ AP； （2）连接AO并延长交PC于F，过点E作EG⊥AC于G，连接OC． ∵AB＝AC， ∴AF⊥BC，BF＝CF． ∵点P是弧AB中点， ∴∠ACP＝∠PCB， ∴EG＝EF． ∵∠BPC＝∠FOC， ∴sin∠FOC＝sin∠BPC= ． 设FC＝24a，则OC＝OA＝25a， ∴OF＝7a，AF＝32a． 在Rt△AFC中，AC 2 ＝AF 2 +FC 2 ， ∴AC＝40a． 在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝ ， ∴ ， ∴EG＝12a． ∴tan∠PAB＝tan∠PCB= ． 点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.