Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-34x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），四边形ABCD

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-34x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），四边形ABCD是正方形．（1）填空：b=______；（2）求点D的坐标；（3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．

Answer 1

（1）∵直线y=-

3

4

x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），
∴-

3

4

×8+b=0，
解得：b=6，；

（2）如图1，过点D作DE⊥x轴于点E，
则∠AOB=∠DEA=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90，
∴∠1=∠3，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，
∵在△AOB和△DEA中，

∠3＝∠1 ∠AOB＝∠DEA AB＝DA

∴△AOB≌△DEA（AAS），
∴OA=DE=8，OB=AE=6，
∴OE=OA+AE=8+6=14，
∴点D的坐标为（14，8）；

（3）存在．
①如图2，当OM=MB=BN=NO时，四边形OMBN为菱形．连接NM，交OB于点P，则NM与OB互相垂直平分，
∴OP=

1

2

OB=3，
∴当y=3时，-

3

4

x+6=3，
解得：x=4，
∴点M的坐标为（4，3），
∴点N的坐标为（-4，3）．
②如图3，当OB=BN=NM=MO=6时，四边形BOMN为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴．
∵点M在直线y=-

3

4

x+6上，
∴设点M的坐标为（a，-

3

4

a+6）（a＞0），
在Rt△OPM中，OP²+PM²=OM²，
即：a²+（-

3

4

a+6）²=6²，
整理得：

25

16

a²-9a=0，
∵a＞0，
∴

25

16

a-9=0，
解得：a=

144

25

，
∴点M的坐标为（

144

25

，

42

25

），
∴点N的坐标为（

144

25

，

192

25

）．
综上所述，x轴上方的点N有两个，分别为（

144

25

，

192

25

）和（-4，3）．
故答案为：6．