Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与x轴平行，求y=f（x）的

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与x轴平行，求y=f（x）的单调区间和极值；（2）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）若g（x）=f（x）+1x在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f′(x)＝a+

1

x

＝

ax+1

x

，有f'（1）=0，
得a=-1，故f′(x)＝

?x+1

x

，
令f'（x）＞0，得x∈（0，1），故f（x）在（0，1）递增，
令f'（x）＜0，得x∈（1，+∞），故f（x）在（1，+∞）递减，
故f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），f_极大值（x）=f（1）=-1，无极小值，
（2）f′(x)＝

ax+1

x

(x＞0)
①当a≥0时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，
②当a＜0时，令f'（x）＞0，得x∈(0，?

1

a

)，
令f'（x）＜0，得x∈(?

1

a

，+∞)，
所以f（x）在（0，-

1

a

）递增，在f（x）在（-

1

a

，+∞）递减，
综上：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）递增
当a＜0时，f（x）在（0，-

1

a

）递增，在f（x）在（-

1

a

，+∞）递减，
（3）由题意可知：g(x)＝ax+lnx+

1

x

在[2+∞）上是单调函数g′(x)＝

1

x

?

1

x2

+a＝

ax2+x?1

x2

当a≥0时，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；
当a＜0时，令h（x）=ax²+x-1，则由题意可知△=1+4a≤0或

△＝1+4a＞0 h(2)≤0 ? 1 2a ≤2

，
解得：a≤?

1

4

．
∴a的取值范围是(?∞，?

1

4

]∪[0，+∞)