Question

设随机变量X与Y独立，X服从正态分布N（μ，σ2），Y服从[-π，π]上的均匀分布，试求Z=X+Y的概率分布密度

设随机变量X与Y独立，X服从正态分布N（μ，σ2），Y服从[-π，π]上的均匀分布，试求Z=X+Y的概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数Φ表示，其中Φ（x）=12π∫x?∞e?t22dt）．

Answer 1

因为X与Y独立，
X服从正态分布N（μ，σ²），Y服从[-π，π]上的均匀分布，
所以X与Y的概率密度分别为：
f_X（x）=

1

2π σ

e?

(x?μ)2

σ2

，
f_Y（y）=

1 2π   ?π＜y＜π 0      其他

，
因为Z=X+Y，故其概率密度为：
f_Z（z）=

∫

+∞ ?∞

fX(x)fY(z?x)dx=

∫

z+π z?π

fX(x)?

1

2π

dx=

1

2π

∫

z+π z?π

fX(x)dx 
=

1

2π

(

∫

z+π ?∞

fX(x)dx?

∫

z?π ?∞

fX(x)dx)
=

1

2π

(FX(z+π)?FX(z?π))
=

1

2π

(Φ(

z+π?μ

σ

)?Φ(

z?π?μ

σ

))．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3