Question

已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，其左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，点P是坐标平面内一点，且|OP|=

已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，其左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，点P是坐标平面内一点，且|OP|= ， （O为坐标原点）。（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（0，- ）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。





Answer 1

解：（1）设 则由 得 由 得 即 所以 又因为 所以 因此所求椭圆的方程为： ； （2）动直线l的方程为： 由 得 设 则 假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则 由假设得对于任意的 ， 恒成立 即 解得m=1。 因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）。