Question

两块完全相同的三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）如图①放置在同一平面上（∠C=∠C1=90°，∠ABC=∠A1B1

两块完全相同的三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）如图①放置在同一平面上（∠C=∠C1=90°，∠ABC=∠A1B1C1=60°），斜边重合．若三角板Ⅱ不动，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动，图②是滑动过程中的一个位置．（1）在图②中，连接BC1、B1C，求证：△A1BC1≌△AB1C；（2）三角板Ⅰ滑到什么位置（点B1落在AB边的什么位置）时，四边形BCB1C1是菱形？说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A₁B₁C₁）是两块完全相同的三角板，
∴AC=A₁C₁AB=A₁B₁∠A=∠A₁
∴在图②中A₁B=AB₁
∴△A₁BC₁≌△AB₁C．

（2）解：点B₁落在AB边的中点．理由如下：
如图②所示，由已知条件知BC=B₁C₁，BC∥B₁C₁
∴四边形BCB₁C₁是平行四边形．
要使四边形BCB₁C₁是菱形，
则BC=CB₁
∵∠ABC=∠A₁B₁C₁=60°，
∴△BCB₁为等边三角形．
∴BB₁=B₁C=BC，
又∵∠A=30°，
在直角三角形ABC中，BC=

1

2

AB，
∴BB₁=

1

2

AB，
∴点B₁落在AB边的中点．