Question

已知函数f（x）=x?（1+lnx）．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若x1，x2＞0，p1，p2＞0，p1+p2=1，

已知函数f（x）=x?（1+lnx）．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若x1，x2＞0，p1，p2＞0，p1+p2=1，求证：p1f（x1）+p2f（x2）≥f（p1x1+p2x2）．

Answer 1

（1）由于f′（x）=2+lnx，令f′（x）=0得x=e^-2，列表：

x	（0，e-2）	e-2	（e-2，+∞）
f′（x）	负	0	正
f（x）	单减	极小值	单增

于是f（x）的单调递减区间是（0，e^-2），单调递增区间是（e^-2，+∞），
在x=e^-2处取得极小值，极小值为f（e^-2）=-

1

e2

，无极大值；
（2）令g（x）=p₁f（x₁）+p₂f（x）-f（p₁x₁+p₂x）．不妨设0＜x₁≤x≤x₂，
则g′（x）=p₂f′（x）-p₂f′（p₁x₁+p₂x）．
∵p₁x₁+p₂x-x=p₁x₁-p₁x≤0，
∴p₁x₁+p₂x≤x，而f′（x）=2+lnx在（0，+∞）上是增函数，所以f′（x）≥f′（p₁x₁+p₂x）．
∴g′（x）≥0，g（x）在（x₁，x₂）是增函数，所以g（x₂）≥g（x₁），
即p₁f（x₁）+p₂f（x₂）≥f（p₁x₁+p₂x₂）．