Question

根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为x1，x2，…，xn，…，x2007；y1，y2，…，yn…，y20

根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为x1，x2，…，xn，…，x2007；y1，y2，…，yn…，y2007；（1）求数列{xn}的通项公式xn；（2）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}的一个通项公式yn，并证明你的结论．（3）若zn=x1y1+x2y2+…+xnyn，求zn的值．

Answer 1

（1）由框图，知数列x_n中，x₁=1，x_n+1=x_n+2，
∴x_n=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*，n≤2007）（4分）
（2）y₁=2，y₂=8，y₃=26，y₄=80，
由此，猜想y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2007）．
证明：由框图，知数列y_n中，y_n+1=3y_n+2，
∴y_n+1+1=3（y_n+1）
∴数列y_n+1是以3为首项，3为公比的等比数列．
∴y_n+1=3ⁿ，
∴y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2007）；（9分）
（3）z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n=1×（3-1）+3×（3²-1）+5×（3³-1）+…+（2n-1）×（3ⁿ-1）
=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ-（1+3+5++2n-1）
记S_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ①
则3S_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-1）×3ⁿ⁺¹②
①-②，得-2S_n=3+2×3²+2×3³+2×3⁴+…+2×3ⁿ-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
∴S_n=（n-1）?3ⁿ⁺¹+3，
又1+3+5+…+2n-1=n²
∴z_n=（n-1）?3ⁿ⁺¹+3-n²（n∈N^*，n≤2007）．（14分）