根据如图所示的程序框图,将输出的x、y值依次分别记为x1,x2,…,xn,…,x2007;y1,y2,…,yn…,y20
根据如图所示的程序框图,将输出的x、y值依次分别记为x1,x2,…,xn,…,x2007;y1,y2,…,yn…,y2007;(1)求数列{xn}的通项公式xn;(2)写...
根据如图所示的程序框图,将输出的x、y值依次分别记为x1,x2,…,xn,…,x2007;y1,y2,…,yn…,y2007;(1)求数列{xn}的通项公式xn;(2)写出y1,y2,y3,y4,由此猜想出数列{yn}的一个通项公式yn,并证明你的结论.(3)若zn=x1y1+x2y2+…+xnyn,求zn的值.
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(1)由框图,知数列xn中,x1=1,xn+1=xn+2,
∴xn=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*,n≤2007)(4分)
(2)y1=2,y2=8,y3=26,y4=80,
由此,猜想yn=3n-1(n∈N*,n≤2007).
证明:由框图,知数列yn中,yn+1=3yn+2,
∴yn+1+1=3(yn+1)
∴数列yn+1是以3为首项,3为公比的等比数列.
∴yn+1=3n,
∴yn=3n-1(n∈N*,n≤2007);(9分)
(3)zn=x1y1+x2y2+…+xnyn=1×(3-1)+3×(32-1)+5×(33-1)+…+(2n-1)×(3n-1)
=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n-(1+3+5++2n-1)
记Sn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n①
则3Sn=1×32+3×33+5×34+…+(2n-1)×3n+1②
①-②,得-2Sn=3+2×32+2×33+2×34+…+2×3n-(2n-1)×3n+1
∴Sn=(n-1)?3n+1+3,
又1+3+5+…+2n-1=n2
∴zn=(n-1)?3n+1+3-n2(n∈N*,n≤2007).(14分)
∴xn=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*,n≤2007)(4分)
(2)y1=2,y2=8,y3=26,y4=80,
由此,猜想yn=3n-1(n∈N*,n≤2007).
证明:由框图,知数列yn中,yn+1=3yn+2,
∴yn+1+1=3(yn+1)
∴数列yn+1是以3为首项,3为公比的等比数列.
∴yn+1=3n,
∴yn=3n-1(n∈N*,n≤2007);(9分)
(3)zn=x1y1+x2y2+…+xnyn=1×(3-1)+3×(32-1)+5×(33-1)+…+(2n-1)×(3n-1)
=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n-(1+3+5++2n-1)
记Sn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n①
则3Sn=1×32+3×33+5×34+…+(2n-1)×3n+1②
①-②,得-2Sn=3+2×32+2×33+2×34+…+2×3n-(2n-1)×3n+1
∴Sn=(n-1)?3n+1+3,
又1+3+5+…+2n-1=n2
∴zn=(n-1)?3n+1+3-n2(n∈N*,n≤2007).(14分)
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