Question

设a是正整数，二次函数y=x2+（a+17）x+38-a，反比例函数y＝56x，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐

设a是正整数，二次函数y=x2+（a+17）x+38-a，反比例函数y＝56x，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值．

Answer 1

联立方程组

y＝x2+(a+17)x+38?a y＝ 56 x

消去y得，x²+（a+17）x+38-a=

56

x

，
即x³+（a+17）x²+（38-a）x-56=0，
当x=1时，x³+（a+17）x²+（38-a）x-56=0，
∴式子x³+（a+17）x²+（38-a）x-56中含有因式（x-1），
分解因式得（x-1）[x²+（a+18）x+56]=0，（1）
显然x₁=1是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点．
因为a是正整数，所以关于x的方程x²+（a+18）x+56=0，（2）
其判别式△=（a+18）²-224＞0，它一定有两个不同的实数根．
而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，
因此它的判别式△=（a+18）²-224应该是一个完全平方数．
设（a+18）²-224=k²（其中k为非负整数），则（a+18）²-k²=224，即（a+18+k）（a+18-k）=224．
显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，
所以

a+18+k＝112 a+18?k＝2

或

a+18+k＝56 a+18?k＝4

或

a+18+k＝28 a+18?k＝8

解得

a＝39 k＝55

或

a＝12 k＝26

或

a＝0 k＝10

而a是正整数，所以只可能

a＝39 k＝55

或

a＝12 k＝26.

．
故答案为：a=39或a=12．