Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，点E、F分别是AC、BC上的动点，但始终保持AE=CF．①

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，点E、F分别是AC、BC上的动点，但始终保持AE=CF．①求证：△DEF是等腰直角三角形．②若AB=82，点E在AC的什么位置时，△DEF的面积最小？并求出最小面积．

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

解答：证明：∵AC=AB，AD⊥BD，∠CAB=90°，
∴AD⊥BC，∠FAD=∠DAB=∠B=∠C=45°，
∴∠ADB=90°，
∵ED⊥FD，
∴∠FDE=90°，
∴∠FDA=∠EDB=90°-∠ADE，
在△FDA和△EDB中，

∠FAD＝∠B AD＝BD ∠FDA＝∠EDB

，
∴△FDA≌△EDB，
∴DF=DE，
∵∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）解：当点E在AC的中点上时，△DEF的面积最小，
理由是：∵∠FDE=90°，DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴△DEF的面积是

1

2

×DE×DF=

1

2

×DE×DE，
即要使△DEF得面积最小，只要DE的值最小即可，
根据垂线段最短，过D作DE⊥AB于E，
∵∠CAB=90°，
∴DE∥AC，
∵CD=BD，
∴AE=BE（即E为AB的中点），
∴DE=

1

2

AC=4，
∴△DEF的面积的最小值是

1

2

×4×4=8，
即当点E在AB的中点上时，△DEF的面积最小，△DEF的面积的最小值是8．