Question

如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，（1）求证：BD⊥PC．（2）若PA=2AB，∠BAD=45°，

如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，（1）求证：BD⊥PC．（2）若PA=2AB，∠BAD=45°，求PD与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

解答：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PA⊥BD；①
又底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；②
PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，
∴BD⊥PC；
（2）解：过D作DE⊥AB，垂足为E，连接PE，则DE⊥平面PAB，
∴∠DPE是PD与平面PAB所成角，
设DE=1，则AD=

2

，PA=2

2

，
∴PD=

2+8

=

10

，
∴sin∠DPE=

DE

PD

=

10

10

．