Question

已知递增数列的等比数列an前三项之积为8,且这三项分别加上1,2,2后又成等差数列。 问bn ＝a

已知递增数列的等比数列an前三项之积为8,且这三项分别加上1,2,2后又成等差数列。 问bn ＝an +2n 求数列bn 的前n 项和Tn

Answer 1

此题先要求出an

bn=2^(n-1)+2n

Tn=b1+b2+b3+b4+.+bn
=(1+2)+(2+2*2)+(2^2+2*3)+.+(2^n-1+2n)
=(1+2+2^2+.+2^n-1)+(2+2*2+2*3+.+2n)
=1+2(1+2+2^2+.+2^(n-2))+2(1+2+3+.+n) (前一个数列等比,后一个数列等差）
=1+2(2^n-2)+2(1+n)n/2
=1+2^n-2+n(n+1)

=2^n-n(n+1)-1

Answer 2

a1*a2*a3=(a2)^3=8,求得a2=2
a1+1+a3+2=2(a2+2)=8
a1+a3=5, a1*a3=4，可求得a1=1，a3=4 或a3=1，a1=4，由递增的条件舍去后者。
因此an是首项为1，公比为2的等比数列，an=2^(n-1)
bn=an+2n=2^(n-1)+2n，这是一个等比数列和等差数列的和，其前n项和即为两个数列前n项和相加，因此
Tn=(2^n-1)+n(n+1)=2^n+n(n+1)-1

Answer 3

an是等比数列 a2是等比中项，则a1 x a3=a2²
又因为前三项之积a1 x a2 x a3=8
a1 x a2 x a3=a2³=8
a2=2
所以数列an是公差q=2,a1=1的等比数列an=2^(n-1) Sn=2^n-1
bn=2^(n-1)+2n
可见数列bn是由等比数列an和等差数列2n组成的
b1=a1+2
b2=a2+4
b3=a3+6
b4=a4+8
a1=1, a2=2 a3=4 a4=8
....
Tn=b1+b2+b3+b4+...+bn
=a1+a2+a3+a4+....+an+2+4+6+8+...+2n
=San+S2n
=2^n-1 + 2n+n（n-1）
=2^n+n（n+1）-1

Answer 4

a1*a2*a3=8,公比为q.
a1*a1q*a1*q^2=8
a1q=2,a1=2/q
(a3+2)-(a2+2)=(a2+2)-(a1+1),
a2q-a2=a1q-a1+1
a1q^2-a1q=a1q-a1+1
a1q^2-2a1q+a1-1=0
2q-2*2+a1-1=0
2q+2/q=5
2q^2-5q+2=0
解之，得q=1/2或2,又数列an为递增数列，所以q=2,所以a1=1
an=a1*q^(n-1)=2^(n-1)
bn=an+2n=2^(n-1)+2n

Tn=b1+b2+...+bn
=a1+2*1+a2+2*2+...+an+2n
=a1+a2+a3+...+an+2*1+2*2+2*3+...+2n
=a1(1-q^n)/(1-q)+2*(1+n)*n/2
=1*(1-2^n)/(1-2)+n(n+1)
=2^n+n(n+1)-1

Answer 5

设公比q>0 （因为递增） a1a2a3=(a2)^3=8
a2=2
a1+1 a2+2 a3+2 等差数列 8=a1+a3+3
a1+a2=5
2/q+2q=5
q=2（q=1/2 不符合递增）
an=2^(n-1)
Tn=2^n-1+n(n+1)