Question

已知抛物线C+y^2=4x的焦点为F++倾斜角为α的直线l过点F，交抛物线C于AB两点 求：△OAB面积的最小值

已知抛物线C：y^2=4x的焦点为F，倾斜角为α的直线l过点F，交抛物线C于AB两点
求：△OAB面积的最小值

Answer 1

解:由已知：F(1,0),0<α<π
直线AB方程：sinα.(x-1)-cosα.y=0

则(0,0)到AB的距离h=|sinα.(0-1)-cosα.0|=|sinα|

由已知设AB上动点P(1+tcosα,tsinα)
A(1+(t1)cosα,(t1)sinα),B(1+(t2)cosα,(t2)sinα)
|AB|=...=|t1-t2|

当P在抛物线上时:(tsinα)^2=4(1+tcosα)
(sinα)^2t^2-(4cosα)t-4=0
△=(4cosα)^2+16(sinα)^2=16
|t1-t2|=(√△)/(sinα)^2=4/(sinα)^2

△OAB的面积S=(1/2)|AB|.h
=(1/2)(4/(sinα)^2.|sinα|
=2/sinα

当sinα=1 即α=π/2时, △OAB的面积最小,其值为2。

希望对你有点帮助！