Question

如图，点P为正方形ABCD边CD上一点，点E在AP的延长线上，DE=DA，∠EDP的平分线交EP于点F，过点A作FD的垂线

如图，点P为正方形ABCD边CD上一点，点E在AP的延长线上，DE=DA，∠EDP的平分线交EP于点F，过点A作FD的垂线交FD的延长线于点G．（1）求证：EF=2DG；（2）连接BD交AP于点H，BH：HD=4：3，连接CE，若△CDE的面积为7，求DG长．

Answer 1

（1）证明：如图1，
过点E作EI⊥GF于点I，
∵AG⊥GF，
∴∠G=∠DIE=90°，
在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠DAG+∠GDA=∠PDF+∠GDA=90°，
∴∠DAG=∠PDF，
∵∠EDP的平分线交EP于点F，
∴∠PDF=∠IDE，
∴∠DAG=∠IDE，
∵在△AGD和△DIE中

∠G＝∠DIE＝90° ∠PDF＝∠IDE AD＝DE

，
∴△AGD≌△DIE（AAS），
∴GD=IE，
在△ADE中，∠DAE+∠DEA+∠ADP+∠PDF+∠FDE=180°，
∵∠DAE=∠DEA，∠PDF=∠FDE，∠ADP=90°，
∴∠IFE=∠DFP=∠DEA+∠FDE=45°，
∴∠EF=

2

IE，
∴EF=

2

DG；

（2）解：如图2，过点D作DM⊥AP于M，过点E作EN⊥CD于N，
在正方形ABCD中，∵DP∥AB，
∴∠BAH=∠DPH，∠ABH=∠PDH，
∴△ABH∽△PDH，
∴

DP

AB

=

DH

HB

=

3

4

，
设DP=3x，则AB=AD=DC=DE=4x，
在Rt△ADP中，AP=

AD2+DP2

=5x，
∵S_△ADP=

AD?DP

2

=

AP×DM

2

，
∴DM=

12

5

x，
∴在Rt△DMP中，MP=

9

5

x，
∵tan∠DAP=

3

4

，
∠DAE=∠DEA，
∴在Rt△DNE中，ME=