Question

在等差数列{an}中，公差d≠0，a1=1且a1，a2，a5成等比数列．在数列{bn}中，b1=3，bn+1=2bn-1（n∈N*）．

在等差数列{an}中，公差d≠0，a1=1且a1，a2，a5成等比数列．在数列{bn}中，b1=3，bn+1=2bn-1（n∈N*）．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{an?（bn-1）}的前n项和为Tn．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：（1）依题意得

a1＝1 a22＝a1a5

，即（1+d）²=1?（1+4d），
解得d=2，或d=0，不合要求，舍去．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
在数列{b_n}中，由b_n+1=2b_n-1，
得b_n+1-1=2（b_n-1），
即数列{b_n-1}是首项为b₁-1=2，公比为2的等比数列．
得bn?1＝2?2n?1=2ⁿ．
即bn＝2n+1．…（6分）
（2）由（1）得an?(bn?1)＝(2n?1)?2n，
∴T_n=1?2+3?2²+5?2³+…+（2n-3）?2^n-1+（2n-1）?2ⁿ，
2T_n=1?2²+3?2³+5?2⁴+…+（2n-3）?2ⁿ+（2n-1）?2ⁿ⁺¹，
相减得-T_n=2+2（2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ）-（2n-1）?2ⁿ⁺¹
=-2+2（2+2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ）-（2n-1）?2ⁿ⁺¹
=-2+2?

2(1?2n)

1?2

-（2n-1）?2ⁿ⁺¹
=-2+2ⁿ⁺²-4-（2n-1）?2ⁿ⁺¹，
整理得Tn＝6+(2n?3)?2n+1．…（12分）