Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且5tanB=8aca2+c2?b2．（I） 求sin2A+C2+cos2B的值；（Ⅱ）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且5tanB=8aca2+c2?b2．（I） 求sin2A+C2+cos2B的值；（Ⅱ）若tanC=612，c=2，求b的值．

Answer 1

（I）5tanB＝

8ac

a2+c2?b2

变式得：5

sinB

cosB

＝4?

2ac

a2+c2?b2

…（2分）
由余弦定理，化简得5

sinB

cosB

＝4?

1

cosB

，即sinB＝

4

5

，
因为0＜B＜π，∴cosB=±

3

5

…（5分）
∵sin2

A+C

2

+cos2B=cos2

B

2

+cos2B=

1+cosB

2

+1?2sin2B=

11

50

+

1

2

cosB，
∴sin 2

A+C

2

+cos2B=

11

25

或?

2

25

…（8分）
（Ⅱ）∵tanC=

6

12

＞0，∴0＜C＜

π

2

∴sinC=

1

5

…（10分）
∵

b

sinB

＝

c

sinC

，∴b=

csinB

sinC

=

2× 4 5

1 5

=8…（12分）