Question

对于任意两个二次函数：y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2，其中a1?a2≠0．当|a1|=|a2|时，我们称这两个二

对于任意两个二次函数：y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2，其中a1?a2≠0．当|a1|=|a2|时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线．现有△ABM，A（-1，0），B（1，0）．我们记过三点的二次函数的图象为“C□□□”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．如过点A、B、M三点的二次函数的图象为CABM．（1）如果已知M（0，1），△ABM≌△ABN．请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线；（2）①若已知M（0，n），在图中的平面直角坐标系中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形．求抛物线CABM的解析式，然后请直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式．②若已知M（m，n），当m，n满足什么条件时，存在抛物线CABM？根据以上的探究结果，在图中的平面直角坐标系中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形．然后请列出所有满足过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线C□□□”．

Answer 1

解答：解：（1）设抛物线C_ABM的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线C_ABM过点A（-1，0），B（1，0），M（0，1），

0＝a?b+c 0＝a+b+c 1＝c

解得：

a＝?1 b＝0 c＝1

∴抛物线C_ABM的解析式为y=-x²+1，从而解得．
同理可得抛物线C_ABN的解析式为y=x²+1，
∵|-1|=|1|，
∴C_ABM与C_ABN是全等抛物线．

（2）①设抛物线C_ABM的解析式y=ax²+bx+c
∵抛物线C_ABM过点A（-1，0），B（1，0），M（0，n），

0＝a?b+c 0＝a+b+c n＝c

抛物线C_ABM的解析式为y=-nx²+n，
与C_ABM全等的抛物线有：
y=nx²-n，y=n（x-1）²，y=n（x+1）²
②当n≠0且m≠±1时，存在抛物线C_ABM，与C_ABM全等的抛物线有：C_ABN，C_AME，C_BMF．