Question

将两块直角三角板如图1放置，等腰直角三角板ABC的直角顶点是点A，AB=AC=3，直角板EDF的直角顶点D在BC上，

将两块直角三角板如图1放置，等腰直角三角板ABC的直角顶点是点A，AB=AC=3，直角板EDF的直角顶点D在BC上，且CD：BD=1：2，∠F=30°．三角板ABC固定不动，将三角板EDF绕点D逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）当α=______时，EF∥BC；（2）当α=45°时，三角板EDF绕点D逆时针旋转至如图2位置，设DF与AC交于点M，DE交AB于点N，求四边形ANDM的面积．（3）如图3，设CM=x，四边形ANDM的面积为y，求y关于x的表达式（不用写x的取值范围）．

Answer 1

（1）∵EF∥BC，
∴∠MDC=∠F，
∴旋转角α=30°；

（2）当α=45°时，∠MDC=α=45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴∠DMC=180°-∠MDC-∠C=180°-45°-45°=90°，
同理可求∠DNA=90°，
又∵∠A=90°，
∴四边形ANDM为矩形；
∴DM∥AB，
∴△DMC∽△BAC，
∴

DM

AB

=

CD

CB

，
∵CD：BD=1：2，
∴

CD

CB

=

1

1+2

=

1

3

，
∵AB=3，
∴DM=1，
同理可求DN=2，
∴S_{四边形ANDM}=1×2=2；

（3）如图3，过点D作DG⊥AC于G，作DH⊥AB于H，
∵∠NDH+∠HDM=∠EDF=90°，
∠MDG+∠HDM=∠HDG=90°，
∴∠NDH=∠MDG，
又∵∠NHD=∠MGD=90°，
∴△NDH∽△MDG，
∴

NH

MG

=

DH

DG

，
由（2）可知DH=2，DG=1，
∴NH=2MG，
∵DG⊥AC，∠C=45°，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∴CG=DG=1，
∵CM=x，
∴MG=x-1，
∴NH=2（x-1），
∴BN=AB-AH-NH=3-1-2（x-1）=4-2x，
四边形ANDM的面积y=S_△ABC-S_△CDM-S_△BDN
=

1

2

×3×3-

1

2

x?1-

1

2

×2×（4-2x）
=

3

2

x+

1

2

．