Question

求函数y=(2+x^2)/(x^2-x+1)的值域

Answer 1

求函数y的值域，也就是说对于任意的一个X都会有一个y与之对应。那么就可以把这个函数看成一个关于x的二次方程，而其中的y作为方程一个参数。整理后的方程为（y-1）x^2 +(y+1)x + y -1 = 0;因为y和x都是有值存在的，所以这个二次方程是一定有解的。因此求y的值域就可以转换为求满足上述方程有解的y的范围。这个范围就是y的值域了。
首先 当y= 1时，x = 0;有解。
当y ！= 1时,根据求根公式，要判断方程是否有解，只需要判断(b^2 - 4ac) / (2a) >= 0即可。
所以有(（y+1）^2 - 4(y-1)(y-1) ) / (2(y -1)) >= 0,
整理有：-（3y-1）(y-3) / (2(y-1) ) > =0;
即:：（3y-1）(y-3) / (2(y-1) ) <= 0;
可求出y的范围是： y <= 1/3 1<= y<= 3
即y的值域是 y<= 1/3 1<= y <= 3
值域：数学名词，函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。
函数经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域,在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}
常见函数值域：
y=kx+b （k≠0）的值域为R
y=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)
y=√x的值域为x≥0
y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ；
当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a]
y=a^x 的值域为 (0,+∞)
y=lgx的值域为R

Answer 2

y=(2+x²)/(x²-x+1)
∵x²-x+1=(x-1/2)²+3/4＞0
两边同乘以x²-x+1：
yx²-yx+y = 2+x²
(y-1)x²-yx+(y-2)=0
判别式 = y² - 4(y-1)(y-2) = -3y²+12y-8 = -3(y-2)²+4 ≥ 0
(y-2)² ≤ 4/3
-2√3/3 ≤ y-2 ≤ 2√3/3
(6-2√3/3) ≤ y ≤ (6+2√3)/3
值域：【(6-2√3/3) ， (6+2√3)/3】

追问

我其实知道就是答案有点怪…老师讲评看了下没想到对了

Answer 3

。。。。。。二到正无穷。。。[2，+∞）。。。

追问

过程有吗

追答

。。。。。。后面一个横大于0前面的恒大于2.。。过程，说明一下后面的用判别式证明是恒成立的，前面的是x平方恒大于0加上2所以恒大于2.。。。。