Question

如图，抛物线顶点在原点，圆x 2 +y 2 =4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l

如图，抛物线顶点在原点，圆x 2 +y 2 =4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l交抛物线与圆依次为A、B、C、D四点．（1）求抛物线的方程．（2）求|AB|+|CD|的值．

Answer 1

（1）由圆的方程x 2 +y 2 =4x，即（x-2） 2 +y 2 =4可知，圆心为F（2，0）， 半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F（2，0）， 抛物线方程为y 2 =8x． （2）|AB|+|CD|=|AD|-|BC| ∵|BC|为已知圆的直径，∴|BC|=4，则|AB|+|CD|=|AD|-4． 设A（x 1 ，y 1 ）、D（x 2 ，y 2 ）， ∵|AD|=|AF|+|FD|，而A、D在抛物线上， 由已知可知，直线l方程为y=2（x-2）， 由 y 2 =8x y=2(x-2). 消去y，得x 2 -6x+4=0， ∴x 1 +x 2 =6．∴|AD|=6+4=10， 因此，|AB|+|CD|=10-4=6．