Question

已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠

已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：在△DAE和△DCE中，
∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），
ED=DE（公共边），
AE=CE（正方形的四条边长相等），
∴△DAE≌△DCE （SAS），
∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；
 
（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；
又∵CG=CE（已知），
∴∠G=∠CEG（等边对等角）；
而∠CEG=2∠EAC（外角定理），
∠ECB=2∠CEG（外角定理），
∴4∠EAC-∠ECA=∠ACB=45°，
∴∠G=∠CEG=30°；
过点C作CH⊥AG于点H，
∴∠FCH=30°，
∴在直角△ECH中，EH=

3

CH，EG=2

3

CH，
在直角△FCH中，CH=

3

2

CF，
∴EG=2

3

×

3

2

CF=3CF．