Question

已知函数f（x）=-x2+mx-1（m为实数）．（1）试求f（x）在区间[12，1]上的最大值；（2）若|f（x）|的区间(

已知函数f（x）=-x2+mx-1（m为实数）．（1）试求f（x）在区间[12，1]上的最大值；（2）若|f（x）|的区间(12，+∞)上递增，试求m的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=-x²+mx-1=-(x?

m

2

)2+

m2

4

?1．
当

m

2

＜

1

2

，即m＜1时，f（x）在[

1

2

，1]上递减，
f(x)max＝f(

1

2

)＝

m

2

?

5

4

；

当

1

2

≤

m

2

≤1，即1≤m≤2时，
f(x)max＝f(

m

2

)＝

m2

4

?1；
当

m

2

＞1，即m＞2时，
f（x）在[

1

2

，1]上递增，
f（x）_max=f（1）=m-2．
（2）f（x）=-x²+mx-1=-(x?

m

2

)2+

m2

4

?1．

对称轴为x=

m

2

，开口朝下，
当

m2

4

?1≤0，即-2≤m≤2时，
|f（x）|=(x?

m

2

)2+1?

m2

4

，
|f（x）|的递增区间为[

m

2

，+∞），
∴

m

2

≤

1

2

，∴m≤1，
∴-2≤m≤1；
当

m2

4

?1＞0，即m＜-2或m＞2时，
f（x）有2个零点x₁，x₂，
设x1＜

m

2

＜x2，
将f（x）图象在x轴下方部分沿x轴翻折得到|f（x）|图象，
那么|f（x）|的一个递增区间为[x₂，+∞）．
若|f（x）|在区间（

1

2

，+∞）上递增，
则需