Question

已知函数f（x）=ax2+（b-8）x-a-ab（a≠0），当x∈（-3，2）时，f（x）＞0；当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞

已知函数f（x）=ax2+（b-8）x-a-ab（a≠0），当x∈（-3，2）时，f（x）＞0；当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[-3，3]上的值域．

Answer 1

（1）由题意可得，x=-3、x=2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两个根，且a＜0．
利用韦达定理可得-3+2=-

8?b

a

，-3×2=

?a?ab

a

，求得a=-3，b=5，
故函数f（x）=-3x² -3x+18=-3(x+

1

2

)2+

75

4

．
（2）由（1）可得f（x）=-3(x+

1

2

)2+

75

4

，故在[-3，3]上，
当x=-

1

2

时，函数取得最大值为

75

4

；当x=3时，函数取得最小值为-18，
故函数的值域为[-18，

75

4

]．