Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3．（Ⅰ）求证：PE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；（Ⅲ）求直线BM与CD所成角的余弦值．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵PA=PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面 ABCD．
（Ⅱ）解：连结EC，取EC中点H，连结MH，HB，
∵M是PC的中点，H是EC的中点，∴MH=PE，
由（Ⅰ）知PE⊥平面ABCD，
∴MH⊥平面ABCD，
∴HB是BM在平面ABCD内的射影，
∴∠MBH为BM与平面ABCD所成的角，
∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，E为AD的中点，∠ADC=90°，
∴四边形BCDE为矩形，∴EC=2，HB=

1

2

EC＝1，
又∵MH=

1

2

PE＝

3

2

，
∴△MHB中，tan∠MBH＝

MH

HB

＝

3

2

，
∴直线BM与平面ABCD所成角的正切值为

3

2

．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知CD∥BE，
∴直线BM与CD所成角即为直线BM与BE所成角，
连接ME，Rt△MHE中，ME＝

7

2

，
Rt△MHB中，BM＝

7

2

，又BE＝CD＝

3

，
∴△MEB中，cos∠MBE＝

BM2+BE2?ME2

2BM?BE

＝

7 4 +3? 7 4

2× 7 2 × 3

＝

21

7

，
∴直线BM与CD所成角的余弦值为

21

7

．