Question

第四题求解。。。

Answer 1

令x=e^t,在分部积分

Answer 2

∵∫sin（lnx）dx
＝∫xsin（lnx）d（lnx）＝－∫xd［cos（lnx）］＝－xcos（lnx）＋∫cos（lnx）dx
＝－xcos（lnx）＋∫xcos（lnx）d（lnx）＝－xcos（lnx）＋∫xd［sin（lnx）］
＝－xcos（lnx）＋xsin（lnx）－∫sin（lnx）dx，
∴2∫sin（lnx）dx＝xsin（lnx）－xcos（lnx）＋C，
∴∫sin（lnx）dx＝（1/2）x［sin（lnx）－cos（lnx）］＋C。

∴∫（上限为e，下限为1）sin（lnx）dx
＝（1/2）x［sin（lnx）－cos（lnx）］｜（上限为e，下限为1）
＝（1/2）e［sin（lne）－cos（lne）］－（1/2）［sin（ln1）－cos（ln1）］
＝（1/2）e（sin1－cos1）－（1/2）（sin0－cos0）
＝（1/2）e（sin1－cos1）＋1/2。