Question

在抛物线y=4x 2 上求一点，使该点到直线y=4x-5的距离最短，该点的坐标是______

在抛物线y=4x 2 上求一点，使该点到直线y=4x-5的距离最短，该点的坐标是______．

Answer 1

解法一：设与y=4x-5平行的直线y=4x+b与y=4x 2 相切，则y=4x+b代入y=4x 2 ，得4x 2 -4x-b=0．① △=16+16b=0时b=-1，代入①得x= 1 2 ， ∴所求点为（ 1 2 ，1）． 解法二：设该点坐标为A（x 0 ，y 0 ），那么有y 0 =4x 0 2 ．设点A到直线y=4x-5的距离为d，则 d= |4 x 0 - y 0 -5| 4 2 +1 = 1 17 |-4x 0 2 +4x 0 -5|= 1 17 |4x 0 2 -4x 0 +5|= 1 17 |4（x 0 - 1 2 ） 2 +1|． 当且仅当x 0 = 1 2 时，d有最小值， 将x 0 = 1 2 代入y=4x 2 解得y 0 =1． 故A点坐标为（ 1 2 ，1）． 故答案为：（ 1 2 ，1）．