Question

已知定点A（0，-1），点B在圆F：x 2 +（y-1） 2 =16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于P．（1）

已知定点A（0，-1），点B在圆F：x 2 +（y-1） 2 =16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于P．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若曲线Q：x 2 -2ax+y 2 +a 2 =1被轨迹E包围着，求实数a的最小值．

Answer 1

（1）由题意得|PA|=|PB|， ∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2 ∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆． 设椭圆方程为 y 2 a 2 + x 2 b 2 =1 （a＞b＞0）， 则2a=4，a=2，a 2 -b 2 =c 2 =1，故b 2 =3， ∴点p的轨迹方程为 y 2 4 + x 2 3 =1 （2）曲线Q：x 2 -2ax+y 2 +a 2 =1化为（x-a） 2 +y 2 =1，则曲线Q是圆心在（a，0），半径为1的圆． 而轨迹E： y 2 4 + x 2 3 =1 为焦点在y轴上的椭圆，短轴上的顶点 (- 3 ，0)，( 3 ，0) ∵曲线Q被轨迹E包围着，则- 3 +1≤a≤ 3 -1 ∴a的最小值为- 3 +1．