Question

已知：如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，AB ∥ OC，OA=5，AB=10，OC=12，抛物线y=ax 2 +bx

已知：如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，AB ∥ OC，OA=5，AB=10，OC=12，抛物线y=ax 2 +bx经过点B、C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）一动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PQC是直角三角形？（3）点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵OA=5，AB=10，OC=12， ∴点B（10，5），C（12，0）， ∴ 100a+10b=5 144a+12b=0 ， 解得 a=- 1 4 b=3 ， ∴抛物线的函数表达式为y=- 1 4 x 2 +3x； （2）根据勾股定理，AC= OA 2 +OC 2 = 5 2 +12 2 =13， ∵点P沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点Q沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动， ∴点P运动的时间为：13÷2=6.5秒， CP=AC-AP=13-2t，CQ=t， ∵∠ACO≠90°， ∴分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况讨论： ①∠PQC=90°时，cos∠ACO= CQ CP = OC AC ， 即 t 13-2t = 12 13 ， 解得t= 156 37 ， ②∠CPQ=90°时，cos∠ACO= CP CQ = OC AC ， 即 13-2t t = 12 13 ， 解得t= 169 38 ， 综上所述，t为 156 37 秒或 169 38 秒时，△PQC是直角三角形； （3）抛物线对称轴为直线x=- b 2a =- 3 2×(- 1 4 ) =6， ①AC是平行四边形的边时，（i）若点M在对称轴左边， ∵OC=12， ∴点M的横坐标为：6-12=-6， 代入抛物线解析式得，y=- 1 4 ×（-6） 2 +3×（-6）=-27， 此时点M的坐标为（-6，-27）， ∵OA=5， ∴点N的纵坐标为：-27-5=-32， ∴点N的坐标为（6，-32）； （ii）若点M在对称轴右边，∵OC=12， ∴点M的横坐标为：6+12=18， 代入抛物线解析式得，y=- 1 4 ×18 2 +3×18=-27， 此时点M的坐标为（18，-27）， ∵OA=5， ∴点N的纵坐标为：-27+5=-22， ∴点N的坐标为（6，-22）； ②AC是对角线时，∵点P是AC的中点，点N在对称轴上， ∴点M也在抛物线对称轴上， ∴点M为抛物线的顶点， ∵y=- 1 4 x 2 +3x=- 1 4 （x-12x+36） 2 +9=- 1 4 （x-6） 2 +9， ∴M（6，9）， ∵OA=5，OC=12，点P在对称轴上， ∴点P的坐标为（6， 5 2 ）， ∴点N的纵坐标为：2× 5 2 -9=-4， ∴点N（6，-4）； 综上所述，M（-6，-27）、N（6，-32）或M（18，-27）、N（6，-22）或M（6，9）、N（6，-4）时，以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形．