Question

如图，二次函数y=-x2+2（m-2）x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1

如图，二次函数y=-x2+2（m-2）x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标；（2）当a≤x≤b时，函数y的最小值为134，最大值为4，求a，b应满足的条件；（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）把A（3，0）代入y=-x²+2（m-2）x+3，
得-9+6（m-2）+3=0，
解得m=3．
则二次函数为y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）把y=1

3

4

代入y=-x²+2x+3，
得1

3

4

=-x²+2x+3，
解得x₁=-

1

2

，x₂=

5

2

，结合图象知-

1

2

≤a≤1．
当a=-

1

2

时，1≤b≤

5

2

，
当-

1

2

＜a≤1时，b=

5

2

；

（3）x=0时，y=3，所以点C坐标为（0，3）．
当三角形PDC是等腰三角形时，分三种情况：
①如图1，当DC=DP时，
∵点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称，
∴点P坐标为（2，3）；
②如图2，当PC=PD时，过点D作x轴的平行线，交y轴于点H，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥DH于点N．
∵HD=HC=1，PC=PD，
∴HP是线段CD的垂直平分线．
∵HD=HC，HP⊥CD，
∴HP平分∠MHN，
∵PM⊥y轴于点M，PN⊥DH于点N，
∴PM=PN．
设P（m，-m²+2m+3），则
m=4-（-m²+2m+3），解得m=

3± 5

2

，
∴P的坐标为(

3- 5

2

，

5+ 5

2

)或(

3+ 5

2

，

5- 5

2

)；
③如图3，当CD=CP时，点P在y轴左侧，