Question

已知函数f（x）=alnx+x2（a为常数）．（1）若a=-2，求函数f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1，e]时，f（x

已知函数f（x）=alnx+x2（a为常数）．（1）若a=-2，求函数f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1，e]时，f（x）≤（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）a=-2时，f（x）=x²-2lnx，f′（x）=2x?

2

x

＝

2(x2?1)

x

；
∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）的单调递减区间是（0，1]，单调递增区间为（1，+∞）．
（2）由已知条件得：alnx+x²≤（a+2）x，a（lnx-x）≤-x²+2x；
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取；
∴lnx＜x，∴lnx-x＜0；
∴a≥

?x2+2x

lnx?x

；
令g（x）=

?x2+2x

lnx?x

（x∈[1，e]），g′（x）=

(x?1)(x+2?2lnx)

(lnx?x)2

；
∵x∈[1，e]，∴x-1≥0，lnx≤1，x+2-2ln2＞0；
∴g′（x）≥0，∴g（x）在[1，e]上为增函数；
∴g（x）在[1，e]上的最大值为：

e2?2e

e?1

；
∴a的取值范围为：[

e2?2e

e?1

，+∞)．