Question

如图所示为固定在竖直平面内的光滑轨道ABCD，其中ABC部分为半径R=0.5m的半圆形轨道，CD部分为水平轨道．

如图所示为固定在竖直平面内的光滑轨道ABCD，其中ABC部分为半径R=0.5m的半圆形轨道，CD部分为水平轨道．一个质量m=1kg的小球P被一左端固定且压缩到最短的轻质弹簧弹出，与另一个质量为M=1kg的Q球发生弹性正碰，碰后Q球沿水平方向进入轨道，通过最高点A时对轨道的压力为其重力的15倍．小球运动过程中所受空气阻力忽略不计，g取10m/s2．求：（1）小球P离开A点后平抛的水平位移？（2）弹簧对小球P所做的功W；（3）弹簧对小球P做的功仍为W，要使球Q在半圆形轨道ABC上运动时不脱离轨道，球Q的质量应满足什么条件？

Answer 1

（1）A点：15Mg+Mg＝M

v 2 A

R

平抛：2R＝

1

2

gt2
S=v_At=4m
（2）

1

2

M

v

2 A

+2MgR＝

1

2

M

v

2 C

得v_C=10m/s
P、Q弹性正碰：mv₀=mv_P+Mv_C

1

2

m

v

2 0

＝

1

2

m

v

2 P

+

1

2

M

v

2 C

得 vC＝

2m

m+M

v0…①
所以 v_C=v₀=10m/s
W＝

1

2

m

v

2 0

＝50J
（3）A点不脱轨有：Mg＝M

v ′2 A

R

C到A机械能守恒：

1

2

M

v

′2 A

+2MgR＝

1

2

M

v

′2 C

v

′ C

＝5m/s
所以

v

′ C

至少等于5m/s
由①式得vC＝

2m

m+M

v0≥5m/s
即M≤3kg
答：（1）小球P离开A点后平抛的水平位移为4m；
（2）弹簧对小球P所做的功W为50J；
（3）弹簧对小球P做的功仍为W，要使球Q在半圆形轨道ABC上运动时不脱离轨道，球Q的质量应满足M≤3kg．