Question

（2013?济南）如图，点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（6，0），点C在第一象限内且△OBC为等边三角形，

（2013?济南）如图，点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（6，0），点C在第一象限内且△OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD，垂足为E，交OC于点F．（1）求直线BD的函数表达式；（2）求线段OF的长；（3）连接BF，OE，试判断线段BF和OE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，OC=BC=OB，
∵点B的坐标为（6，0），
∴OB=6，
在Rt△OBD中，∠OBC=60°，OB=6，
∴∠ODB=30°，
∴BD=12，
∴OD=

122?62

=6

3

，
∴点D的坐标为（0，6

3

），
设直线BD的解析式为y=kx+b，则可得

6k+b＝0 b＝6 3

，
解得：

k＝? 3 b＝6 3

，
∴直线BD的函数解析式为y=-

3

x+6

3

．

（2）∵∠OCB=60°，∠CEF=90°，
∴∠CFE=30°，
∴∠AFO=30°（对顶角相等），
又∵∠OBC=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，
∴∠BAE=∠AFO，
∴OF=OA=2．

（3）连接BF，OE，如图所示：
∵A（-2，0），B（6，0），
∴AB=8，
在Rt△ABE中，∠ABE=60°，AB=8，
∴BE=

1

2

AB=4，
∴CE=BC-BE=2，
∴OF=CE=2，
在△COE和△OBF中，

CE＝OF ∠OCE＝∠BOF＝60° CO＝OB

，
∴△COE≌△OBF（SAS），
∴OE=BF．