Question

已知函数f(x)=1/4x-1-a是奇函数【1】求常数a的值;【2】写出函数f[x]的单调区间;

【3】设x1>0,x2>0,x1≠x2,判断f[x1]+f[x2]/2与f[x1+x2/2]的大小,并给证明

Answer 1

f(x)=1/(4x-1-a)是奇函数
f(-x) = -f(x)
1/(-4x-1-a)= -1/(4x-1-a)
1/(-4x-1-a)= 1/(-4x+1+a)
-4x-1-a=-4x+1+a
a+1=0
a=-1

f(x) = 1/(4x)
定义域x≠0
在定义域内4x单调增，1/(4x)单调减
单调减区间：（-∞，0）U（0，+∞）

∵当x＞0时双曲线函数f(x)=1/(4x)的图像下凹
∴{f(x1)+f(x2)}/2＞f(x1+x2/2)
证明：
∵{f(x1)+f(x2)}/2 - f(x1+x2/2) = {1/(4x1)+1/(4x2)}/2 - 1/{4(x1+x2/2)}
= 1/(8x1) + 1/(8x2) - 1/{2(2x1+x2)}
= {(2x1+x2)x2+(2x1+x2)x1-4x1x2} / {8x1x2(2x1+x2)}
= 2 {x1²-1/2x1x2+1/2x2²} / {8x1x2(2x1+x2)}
= 2 {(x1-1/4x2)²+7/16x2²} / {8x1x2(2x1+x2)}
∵x1≠x2
∴ 2 {(x1-1/4x2)²+7/16x2²} / {8x1x2(2x1+x2)}＞0
∴{f(x1)+f(x2)}/2＞f(x1+x2/2)，得证。