Question

如图，ABCD为直角梯形，∠C=∠CDA=90°，AD=2BC=2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD．（1）求证：PA⊥BD；

如图，ABCD为直角梯形，∠C=∠CDA=90°，AD=2BC=2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD．（1）求证：PA⊥BD；（2）若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD；（3）若直线l过点P，且直线l ∥ 直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC ∥ 平面EBD．

Answer 1

（1）∵ABCD为直角梯形，AD= 2 AB= 2 BD， ∴AB⊥BD，（1分） PB⊥BD，AB∩PB=B，AB，PB?平面PAB， BD⊥平面PAB，（4分） PA?面PAB，∴PA⊥BD．（5分） （2）假设PA=PD，取AD中点N，连PN，BN， 则PN⊥AD，BN⊥AD，（7分） AD⊥平面PNB，得PB⊥AD，（8分） 又PB⊥BD，得PB⊥平面ABCD， ∴PB⊥CD（9分） 又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面PBC， ∴CD⊥PC，与已知条件PC与CD 不垂直矛盾 ∴PC≠PD（10分） （3）在上l取一点E，使PE=BC，（11分） ∵PE ∥ BC，∴四边形BCPE是平行四边形，（12分） ∴PC ∥ BE，PC?平面EBD，BE?平面EBD ∴PC ∥ 平面EBD．（14分）