Question

如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥

如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q （1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；（2）连结AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围。

Answer 1

解：（1）假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如图）， ∵PQ⊥PD， ∴∠DPC=90°， ∴∠APD+∠BPC=90°， 又∠ADP+∠APD=90°， ∴∠BPC=∠ADP， 又∠B=∠A=90°， ∴△PBC∽△DAP， ∴ ， ∴ ， ∴AP=2或8， ∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2或8；
（2）如图，∵PQ∥AC， ∴∠BPQ=∠BAC， ∵∠BPQ=∠ADP， ∴∠BAC=∠ADP， 又∠B=∠DAP=90°， ∴△ABC∽△DAP， ∴ ，即 ， ∴AP= ， ∵PQ∥AC， ∴∠BPQ=∠BAC， ∵∠B=∠B， ∴△PBQ∽△ABC， ，即 ， ∴ ；
（3）由已知PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图）， ∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°， ∴△PBQ≌△DAP， ∴PB=DA=4，AP=BQ=m-4， ∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为： S 四边形PQCD =S 矩形ABCD -S △DAP -S △QBP =DA×AB- ×DA×AP- ×PB×PQ =4m- ×4×（m-4）- ×4×（m-4） =16（4＜m≤8）。