Question

已知函数f（x）=lnx+ a x -2 ，g（x）=lnx+2x（I）求函数f（x）的单调区间；（II）试问过点（2

已知函数f（x）=lnx+ a x -2 ，g（x）=lnx+2x（I）求函数f（x）的单调区间；（II）试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．

Answer 1

（I） 由题意得，函数的定义域为（0，+∞）， f / (x)= 1 x - a x 2 = x-a x 2 当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调递增区间为（0，+∞） 当a＞0时，令 f ′ （x）＞0，x＞a 令 f ′ （x）＜0，0＜x＜a 故f（x）的单调递增区间为 （a，+∞），单调递减区间为（0，a） （II） 设切点为（m，n） g / (x)= 1 x +2 ∴ 1 m +2= n-5 m-2 ，n=lnm+2m ∴ lnm+ 2 m -2=0 令 h(x)=lnx+ 2 x -2 ∴ h / (x)= 1 x - 2 x 2 由导数为0可得，x=2， ∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增  ∴h（x）与x轴有两个交点 ∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．