Question

（2012?温州一模）如图，在三棱锥A-BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=63，BC=CD=6，设顶点A在底面BCD上

（2012?温州一模）如图，在三棱锥A-BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=63，BC=CD=6，设顶点A在底面BCD上的射影为E．（Ⅰ）求证：CE⊥BD；（Ⅱ）设点G在棱AC上，且CG=2GA，试求二面角C-EG-D的余弦值．

Answer 1

（I）证明：如图，
因为顶点A在底面BCD上的射影为E，所以AE⊥平面BCD，则AE⊥CD，
又AD⊥CD，且AE∩AD=A，则CD⊥平面AED，
又DE?平面AED，故CD⊥DE，
同理可得CB⊥BE，则四边形BCDE为矩形，又BC=CD，
则四边形BCDE为正方形，故CE⊥BD．
（II）解：由（I）知BCDE为正方形，
以E为坐标原点，EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示坐标系，
则E（0，0，0），D（0，6，0），B（6，0，0），C（6，6，0），
在直角三角形AEC中，因为EC＝6

2

，AC=6

3

，所以EA＝

(6 3 )2?(6 2 )2

＝6．
又CG=2GA，所以A（0，0，6），G（2，2，4），
则

ED

＝(0，6，0)，

EG

＝(2，2，4)，易知平面CEG的一个法向量为

BD

＝(?6，6，0)，<