Question

已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数．（1）求实数k的值；（2）若关于x的方程f（x）=m有解，求实数m

已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数．（1）求实数k的值；（2）若关于x的方程f（x）=m有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx是偶函数，
∴f（-1）=f（1）．
∴log₄5+k=log4

5

4

-k，
化为2k=-1，解得k=-

1

2

．
∴f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x．
经过验证满足偶函数的定义．
（2）f^′（x）=

4x

4x+1

?

1

2

=

4x?1

2(4x+1)

．
当x≥0时，f^′（x）≥0，
∴当x≥0时，函数f（x）单调递增，而函数f（x）又为偶函数．
∴f（x）≥f（0）=0．
∴当m≥0时，关于x的方程f（x）=m有解，
∴实数m的取值范围是m≥0．