Question

已知函数f(x)＝x?4x（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；

已知函数f(x)＝x?4x（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求函数f(x)＝x?4x，x∈[-2，-1]的值域．

Answer 1

解答：（1）证明：定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f(?x)＝?x?

4

?x

＝?x+

4

x

＝?(x?

4

x

)＝?f(x)
∴f（x）为奇函数
（2）证明：对于任意x₁，x₂∈（0，+∞）设x₁＜x₂
则f(x1)?f(x2)＝x1?

4

x1

?(x2?

4

x2

)＝(x1?x2)?(

4

x1

?

4

x2

)=(x1?x2)+

4(x1?x2)

x1x2

＝(x1?x2)(1+

4

x1x2

)
∵0＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）解：f（x）为奇函数且在（0，+∞）上是增函数
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数
∴f_max（x）=f（-1）=-1+4=3f_min（x）=f（-2）=-2+2=0
∴f（x）的值域为[0，3]．