已知函数f(x)＝x?4x（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
已知函数f(x)＝x?4x（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求函数f(x)＝x?4x，x∈[-2，-1]的值域．...
已知函数f(x)＝x?4x（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求函数f(x)＝x?4x，x∈[-2，-1]的值域．
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解答：（1）证明：定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f(?x)＝?x?
＝?x+
＝?(x?
)＝?f(x)
∴f（x）为奇函数
（2）证明：对于任意x1，x2∈（0，+∞）设x1＜x2
则f(x1)?f(x2)＝x1?
?(x2?
)＝(x1?x2)?(
?
)=(x1?x2)+
＝(x1?x2)(1+
)
∵0＜x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）解：f（x）为奇函数且在（0，+∞）上是增函数
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数
∴fmax（x）=f（-1）=-1+4=3fmin（x）=f（-2）=-2+2=0
∴f（x）的值域为[0，3]．
∵f(?x)＝?x?
| 4 |
| ?x |
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
∴f（x）为奇函数
（2）证明：对于任意x1，x2∈（0，+∞）设x1＜x2
则f(x1)?f(x2)＝x1?
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| 4(x1?x2) |
| x1x2 |
| 4 |
| x1x2 |
∵0＜x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）解：f（x）为奇函数且在（0，+∞）上是增函数
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数
∴fmax（x）=f（-1）=-1+4=3fmin（x）=f（-2）=-2+2=0
∴f（x）的值域为[0，3]．
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