Question

如图，y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C（1，0）三点．（1）求抛物线

如图，y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C（1，0）三点．（1）求抛物线解析式．（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．（3）在（2）的条件下，且点P为第一象限内的点，过点P作PM⊥y轴于点M，过点A作直线l平行于y轴，动点N从原点出发以每秒一个单位的速度沿0-M-P运动，同时直线l从A点出发以相同的速度沿x轴向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BP或OP于点Q，当点N达到P点时运动停止，在运动过程中，设动点N的运动时间为t秒，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）由题意得出：A（3，0），B（0，3），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C（1，0）三点，
∴设y=a（x-1）（x-3）（其中a≠0），
∴a×（-1）×（-3）=3，
∴抛物线解析式为：y=x²-4x+3；

（2）由题意可得，△ABO为等腰三角形，
①若△ABO∽△AP₁D，
则

AO

AD

=

BO

DP1

，
∴DP₁=AD=4．
∴P₁（-1，4）；
②若△ABO∽△ADP₂，过点P₂作P₂E⊥x轴于E，AD=4，
∵△ABO为等腰三角形，
∴△ADP是等腰三角形，
由“等腰三角形三线合一”可得，DE=AE=2=P₂E，即点E与点C重合，
∴P₂（1，2）

（3）当0≤t≤2时，可得PN=PQ，t=1．
当2＜t≤3时，
①可得QN=QP，t=

7

3

．
②可得QN=PQ，t=

7+ 5

4

．
③可得QN=NP，t=

16

7

．