Question

求证函数fx=sinx/x在区间（π/2,π）上单调递减

Answer 1

首先，x在（π/2,π）上单调递增，1/x（π/2,π）上单调递减，这个很明显，x递增，1/x递减。
然后，sin(x)在（π/2,π）上单调递减，这个很明显，不用我说了吧。
最后，sin(x)*（1/x）是递减的。也就是两个递减的函数相乘也是递减的。

其实你也可以按照递减函数的定义直接证明，如下：
令x1 < x2，然后：
f(x1)-f(x2) = sin(x1)/x1 - sin(x2)/x2 = （x2*sin(x1) - x1*sin(x2)）/ (x1*x2)。
由于分子是(x1*x2)，在（π/2,π）上肯定大于0，现在分析分子：
x2*sin(x1) - x1*sin(x2) < x2*sin(x2) - x1*sin(x2) = (x2 - x1)*sin(x2) > 0
最后得到：f(x1)-f(x2) > 0 ，即f(x1) > f(x2),此时的x1 < x2，于是，得到f(x)=sinx/x在区间（π/2,π）上单调递减

同样的，你也可以用f(x1)/f(x2)是否大于1来判断，对于这个题，相除反而简单。

Answer 2